Giáo trình toán cao cấp c1

Đây là giáo trình Toán thù thời thượng C1 giành riêng cho sinh viên khoa Kinh tế, ĐH Quốc gia Tp. TP HCM. Trong mỗi trương đều phải sở hữu ví dụ hẳn nhiên cùng với phần bài xích tập cùng với độ cạnh tranh khác biệt để sinh viên tập luyện tài năng tính toán.




Bạn đang xem: Giáo trình toán cao cấp c1

*

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH KHOA KINH TẾ NGUYỄN THÀNH LONG NGUYỄN CÔNG TÂM TOÁN CAO CẤP C1 Lưu hành nội cỗ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2004 0 LỜI NÓI ĐẦU Đây là giáo trình Toán thù Cao cấp cho C1 giành riêng cho sinch viên Khoa Kinc Tế, Đại học Quốc giaTp. TP HCM. Giáo trình gồm 3 đơn vị chức năng học hành (45 tiết) cả định hướng và bài xích tập. Giáo trình gồm 5 chương: Cmùi hương I trình bày câu chữ về phép tính vi phân hàm một phát triển thành. Chương II trình bày văn bản về phnghiền tính vi phân hàm nhị phát triển thành. Chương thơm III trình diễn câu chữ về phxay tính tích phân hàm một vươn lên là. Chương thơm IV trình bày qua loa về pmùi hương trình vi phân ( cấp 1 cùng 2). Chương thơm V trình bày văn bản về lý thuyết chuỗi. Trong mỗi cmùi hương đều sở hữu ví dụ dĩ nhiên cùng với phần bài xích tập cùng với độ cạnh tranh khác biệt đểsinch viên tập luyện kỹ năng tính tân oán. Một số định lý khó chỉ được phát biểu mà không chứngminch với nuốm vào đó là phần minch họa ý bao gồm của đ ịnh lý. Giáo trình sẽ không tránh ngoài đều thiếu sót. Các người sáng tác rất mong muốn nhận được các ý kiếngóp phần của công ty gọi gần xa nhằm giáo trình được hoàn thành xong hơn. Tp. Hồ Chí Minh mon 9 năm 2004. Các tác giả Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm. 1 CHƯƠNG I. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN§1. Khái niệm về hàm số1.1. Định nghĩa Cho tập vừa lòng D  , ánh xạ f : D   được hotline là một trong hàm số xác định bên trên tập D. TậpD được Điện thoại tư vấn là miền xác minh của hàm số f. Tập fx : x  D được Hotline là miền quý giá củahàm số f. Vậy một hàm f khẳng định bên trên D là một phép khớp ứng với mỗi số thực x  D với cùng một sốthực xác minh tốt nhất nhưng ta ký hiệu nó là fx. Ta viết f : x  fx.Ta cũng điện thoại tư vấn fx là cực hiếm của f trên x.Nếu đặt y  fx, thì ta rất có thể biểu diễn hàm f nlỗi sau: f : x  y  fxgiỏi gọn hơn y  fx.Ta điện thoại tư vấn x là thay đổi chủ quyền giỏi đối số, y là biến đổi phụ thuộc (tốt là hàm).Đối với cùng 1 hàm vẫn xác định thì các ký hiệu nhằm chỉ các biến chuyển ví dụ là không đặc trưng.Chẳng hạn, những ánh xạ t  t2,     2, w  u  w2, y  x  y2,xác định cùng một hàm, bởi vì trong tất cả những ngôi trường hòa hợp trên phnghiền khớp ứng là nhỏng nhau: ứngcùng với từng số là bình phương thơm của chính nó. Để chỉ những hàm không giống nhau ta dùng các chữ khác nhau y  fx, y  gx, y  x, . . .Trị của hàm f trên x  a được ký hiệu là fa giỏi fx| xa với phát âm là "f trên a".Xét hàm y  fx xác định trên D  . Chọn vào mặt phẳng một hệ trục tọa độ vuông gócOxy cùng biểu tình tiết hòa bình x trên trục hoành, còn vươn lên là nhờ vào y bên trên trục tung.Ta điện thoại tư vấn tậptất cả các điểm của phương diện phẳng bao gồm dạng x, fx : x  Dlà đồ dùng thị của hàm số f. Hình 1 21.2. Các hàm số sơ cung cấp cơ bản Các hàm dưới đây được hotline là những hàm số sơ cấp cho cơ bản: Hàm lũy vượt x  , hàm nón xa , Hàm logarit log a x, những các chất giác cos x, sin x, tgx, cot gx và các lượng chất giácngược. Tất cả các hàm nầy, kế bên những hàm lượng giác ngược, đ ều đang học tập ngơi nghỉ phổ biến nênở đây chỉ nói lại đa số tính chất hầu hết của chúng, riêng các lượng chất giác ngược sẽ được trình diễn kỹ rộng. Hàm lũy thừa y  x  ,  là một số trong những thực. Miền xác minh của chính nó phụ thuộc vào vào .Ví dụ:- Các hàm y  x, y  x 2 , y  x 3 , . . . khẳng định tại đa số x.- Các y  x 1 , y  x 2 , y  x 3 , . . . xác định tại hầu hết x  0.- Hàm y  x 1/2  x xác minh khi x  0.- Hàm y  x 50%  1x chỉ xác minh khi x  0.- Hàm y  x 1/3  3 x xác định tại hầu hết x. Chú ý rằng nếu  vô tỉ tì ta qui ước chỉ xét hàm y  x  trên phần lớn x  0 nếu như   0 và trên mọix  0 trường hợp   0.Đồ thị của tất cả các hàm y  x  đông đảo trải qua điểm 1, 1, bọn chúng đi qua gốc tọa độ trường hợp   0 vàkhông đi qua gốc tọa độ ví như   0. Hình 2 Hình 3 Hàm nón y  a x , a  0 với a  1. Số a được Gọi là cơ số của hàm mũ. Hàm mũ xác định tạihầu hết x với luôn luôn dương. Nó tăng nếu a  1 với sút nếu như 0  a  1. Dường như ta luôn luôn cóa 0  1. Hàm logarit.Hàm mũ y  a x là 1 trong song ánh từ  lên khoảng 0, , vì thế nó tất cả hàm ngược cơ mà ta cam kết hiệulà x  log a y (đ ọc là logarit cơ số a của y). Vậy nên y  a x  x  log a y 3 a  1 0  a  1 Hình 4 Hình 5Với qui ước, cần sử dụng chữ x để chỉ cần trở thành tự do, chữ y đ ể chỉ hàm thì hàm ngược của hàm mũy  a x là y  log a x.Đồ thị của hàm y  log a x là đối xứng của đồ thị của hàm y  a x qua mặt đường phân giác thứtốt nhất.Hàm y  log a x chỉ xác minh lúc x  0, nó tăng lúc a  1 cùng sút nếu 0  a  1. Dường như taluôn luôn tất cả log a 1  0.Với a  10, ta ký hiệu lg x  log 10 xcùng call nó là hàm logarit thập phân.Hàm logarit còn có các đặc điểm sau: log a AB  log a |A|  log a |B|, AB  0, log a  A   log a |A|  log a |B|, AB  0, B log a A    log a |A|, A   0,  log a  A    log a |A|, A   0,   0.Mọi số dương N những hoàn toàn có thể viết dưới dạng mũ N  a log a N . Các các chất giác y  cos x, y  sin x, y  tgx, y  cot gx. Các hàm nầy được xác địnhbên trên vòng tròn lượng giác (vòng tròn 1-1 vị) như sau OPhường  cos x, OQ  sin x, AT  tgx, BC  cot gx, Hình 6trong đó, x được kia bởi radian. Hai hàm y  sin x cùng y  cos x xác định trên phần lớn x, có mức giá trịthuộc 1, 1, tuần hoàn với chu kỳ luân hồi 2. 4 y  sin x Hình 7 y  cos x Hình 8 Hàm y  tgx khẳng định trên số đông x  2k  1  , k nguyên, là hàm tăng bên trên từng khoảng chừng, 2tuần trả cùng với chu kỳ . Hàm y  cot gx xác định trên mọi x  k, k nguyên, là hàm sút bên trên từng khoảng chừng, tuầntrả cùng với chu kỳ . y  tgx y  cot gx Hình 9 Hình 10 Các các chất giác ngược. y  arcsin x. Hàm y  sin x cùng với   x   là 1 tuy vậy ánh trường đoản cú đoạn   ,   lên đoạn 2 2 2 21, 1 vì thế nó tất cả hàm ngược mà ta cam kết hiệu là x  arcsin y (x ngay số đo của cung nhưng mà sin củanó bởi y). Vậy y  sin x,   x  arcsin y. 2 x  2Với qui ước cần sử dụng chữ x nhằm chỉ nên biến tự do, chữ y đ ể chỉ hàm, thì hàm ngược của hàmy  sin x cùng với   x   là y  arcsin x. 2 2Đồ thị của hàm đó sẽ đối xứng cùng với thứ thị của hàm y  sin x,    x    qua mặt đường phân 2 2giác đầu tiên. 5Hàm y  arcsin x khẳng định với tăng trên 1  x  1. y  arccos x. Cũng nhỏng trên, hàm y  cos x cùng với 0  x   bao gồm hàm ngược là x  arccos y ( xthông qua số đo của cung nhưng cosin của chính nó bằng y). Vậy y  cos x,  x  arccos y. 0xĐồ thị của hàm y  arccos x đối xứng cùng với vật thị của hàm y  cos x, 0  x   qua đườngphân giác trước tiên.Hàm y  arcsin x xác minh với bớt bên trên 1  x  1.Ta bao gồm đẳng thức sau arcsin x  arccos x   . 2 y  arcsin x y  arccos x Hình 11 Hình 12   y  arctgx. Hàm y  tgx với 2 x 2 gồm hàm ngược là x  arctgy ( x thông qua số đo củacung nhưng mà tg của nó là y). Vậy y  tgx,    x  arctgy. 2 x 2Đồ thị của hàm y  arctgx đối xứng với trang bị thị của hàm y  tgx,    x    qua đường 2 2phân giác trước tiên. y  arccot gx. Hàm y  cot gx với 0  x   có hàm ngược là x  arccot gy ( x bằng số đocủa cung nhưng mà tg của chính nó là y). Vậy y  cot gx,  x  arccot gy. 0xĐồ thị của hàm y  arccot gx đối xứng với đồ vật thị của hàm y  cot gx, 0  x   qua đườngphân giác thứ nhất.Ta tất cả đẳng thức sau arctgx  arccot gx   . 2 6 y  arctgx y  arccot gx Hình 13 Hình 14§2. Giới hạn của hàng số thực2.1. Định nghĩa dãy số, số lượng giới hạn của hàng số Định nghĩa: Cho hàm số x :   . Các cực hiếm của x tại n  1, 2, . . . lập thành một dãy số(call tắt là dãy) x1, x2, x3, . . .Nếu đặt x n  xn, ta có thể viết hàng số kia nlỗi sau x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . tốt x n .Các số x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . được gọi là các số hạng của hàng, x n được Hotline là các số hạng tổng quátcủa hàng, còn n được điện thoại tư vấn là chỉ số của chính nó.Ví dụ: Cho x n  1 , x n  a, x n  1 n , thì các dãy tương ứng đang là n 1, 1 , 1 , . . . , 1 , . . . 2 3 n a, a, a, . . . , a, . . . 1, 1, 1, . . . , 1 n , . . . Định nghĩa: Cho dãy số x n . Ta nói x n  quy tụ giả dụ, tồn tại một vài thực a sao để cho, cùng với mọi  0 cho trước, tồn tại số thoải mái và tự nhiên N làm sao để cho n  N  |x n  a|  .Ta có thể nghiệm lại rằng, nếu hàng x n  quy tụ thì số thực a vào định nghĩa làm việc trên là duy nhất( coi đặc thù 1), ta điện thoại tư vấn a là số lượng giới hạn của hàng x n  cùng ký hiệu nó là a  lyên x n giỏi x n  a khi n  . nDùng những cam kết hiệu lô ghích ta hoàn toàn có thể biểu đạt có mang bên trên như sau: lyên ổn x n  a    0, N   : n  , n  N  |x n  a|  . nChú ý rằng, số N mãi sau bên trên đây nói thông thường phụ thuộc vào , cho nên vì thế ta rất có thể viết N  N.Hơn cũng ko cần thiết N cần là số thoải mái và tự nhiên. Định nghĩa: Dãy ko quy tụ được Điện thoại tư vấn là phân kỳ. 1Ví dụ: Cho x n , với x n  n . Ta bao gồm lim x n  0. n 7Thật vậy |x n  0|  | 1  0|  n 1 n |x n  0|    1    n  1 . n Rõ ràng, nếu tìm N  1/  1, ta tất cả n  N  |x n  0|  .2.2. Các đặc điểm cùng những phnghiền tính về số lượng giới hạn của dãy số Tính chất 1. Giả sử hàng x n  hội tụ. lúc kia số thực a trong quan niệm nghỉ ngơi trên là độc nhất vô nhị. Chứng minh: Giả sử có nhị số thực a, a như vào định nghĩa ngơi nghỉ trên. Ta chứng minh rằng   a  a. Thật vậy, đưa sử ngược lại: a  a. Chọn   1 |a  a|  0, ta có: 3 N 1   : n  , n  N 1  |x n  a|  , (chính vì x n  avới   N 2   : n  , n  N 2  |x n  a|  , (cũng chính vì x n  a.Chọn số tự nhiên và thoải mái n  maxN 1 , N 2 , ta có:   3  |a  a|  |a  x n |  |x n  a|      2.Điều nầy xích míc. Vậy đặc điểm 1 được chứng tỏ. Tính hóa học 2. Giả sử dãy x n  quy tụ về a. Nếu a  p (tương ứng cùng với a  p), thì N   : n  , n  N  x n  p (tương ứng với x n  pChứng minh: Chọn 0    a  p thì a    p. Với số  đó thìN : n  N  a    x n  a    x n  p. Tính hóa học 3. Giả sử hàng x n  quy tụ về a cùng ta gồm x n  p x n  q với mọi n, thì a  pa  q. N   : n  , n  N  x n  p (tương ứng với x n  pChứng minh: Giả sử ngược chở lại a  p a  q. Khi đó theo tính chất 2 thìN : n  N  x n  p x n  q. Điều nầy xích míc với giả thiết. Vậy đặc điểm 3 đượcchứng tỏ. Tính hóa học 4. Giả sử hàng x n  quy tụ. Lúc kia nó bị chận, nghĩa là: M  0 : |x n |  M n  .Chứng minh: Chọn   1, N   : n  N  |x n  a|  1, từ bỏ đó|x n |  |x n  a|  |a|  1  |a|  max1  |a|, |x 1 |, |x 2 |, . . . , |x N |  M với tất cả n.  Định lý 1. Cho hai hàng hội tụ x n  với y n . Nếu x n  y n n  , thì lyên x n  lyên y n . n nChứng minh: Đặt a llặng x n , b  lim y n . Giả sử ta gồm a  b. Lấy một trong những r làm sao cho n na  r  b. khi đó theo đặc điểm 2 N /   : n  , n  N /  x n  r.Mặt không giống, N //   : n  , n  N //  y n  r. 8Đặt N  maxN / , N // . khi đó n  N  x n  r  y n . Điều nầy xích míc với trả thiết. Dokia a  b.  Định lý 2. Cho bố hàng x n , y n  cùng z n  thỏa i x n  y n  z n n  , ii lyên x n  lyên z n  a. n nlúc kia hàng y n  cũng hội tụ và llặng y n  a. nChứng minh: Theo tư tưởng số lượng giới hạn   0, N /   : n  N /  a    x n  a  , N //   : n  N //  a    z n  a  .Đặt N  maxN / , N // . Ta có n  N  a    x n  y n  z n  a  , giỏi |y n  a|  . Vậylim y n  a.n Định lý 3. Nếu các hàng x n  cùng y n  quy tụ thì dãy x n  y n  cũng hội tụcùng lyên x n  y n   lyên ổn x n  lyên ổn y n . n n nChứng minh: Giả sử lim x n  a, lyên y n  b. Theo đ ịnh nghĩa giới hạn,   0, n n / / N   : n  N  |x n  a|  /2, N //   : n  N //  |y n  b|  /2.Đặt N  maxN / , N // . Ta cón  N  |x n  y n   a  b|  |x n  a|  |y n  b|  /2  /2  .Vậy llặng x n  y n   a  b  lyên ổn x n  lyên y n . n n n Định lý 4. Nếu các hàng x n  cùng y n  hội tụ thì hàng x n y n  cũng hội tụcùng lyên ổn x n y n   lim x n lyên y n . n n nChứng minh: Giả sử lyên ổn x n  a, lim y n  b. Lúc đ ó   0, n n N 1   : n  N 1  |x n  a|  , N 2   : n  N 2  |y n  b|  .Đặt N  maxN 1 , N 2 , x n  a   n , y n  b   n . Ta tất cả |x n y n  ab|  |a   n b   n   ab|  | n b   n a   n  n |  | n ||b|  | n ||a|  | n || n |  |x n  a||b|  |y n  b||a|  |x n  a||y n  b|  |b|  |a|  M  |b|  |a|  M.Vì y n  b  0 nên nó bị chận vị hằng số dương M Vậy Reviews bên trên cho tallặng x n y n   ab  lim x n lim y n .n n n Hệ trái. Nếu hàng x n  hội tụ, với k là một trong những tùy ý, thì dãy kx n  cũng quy tụ 9cùng lim kx n   k lyên ổn y n . n n Định lý 5. Nếu các hàng x n  và y n  quy tụ, cùng y n  0 n, lyên ổn y n  0 thì dãy  x n  cũng yn n limx n xnquy tụ cùng lyên ổn yn  n limy n . n nChứng minh: Giả sử lyên ổn x n  a, lyên y n  b  0. Đ ặt x n  a   n , y n  b   n , ta tất cả n n xn a b n a n |b|| n ||a|| n | yn  b  bb n   |b||b n | . 1Lấy 0    2 |b| thì N 1   : n  N 1  | n |  , N 2   : n  N 2  | n |  .Đặt N  maxN 1 , N 2 . Ta gồm |b   n |  |b|  | n |  |b|    |b|  1 |b|  2 1 2 |b|. xn a 2|b||a|Khi kia n  N 1  yn  b  b2 . limx n xn aVậy lyên yn  b  n limy n . n n§3. Giới hạn của hàm số3.1. Các tư tưởng giới hạnĐịnh nghĩa 1. Xét hàm y  fx xác đ ịnh ở ở bên cạnh giá trị hữu hạn x 0 , không độc nhất thiết xácđịnh trên x 0 . Trong ở bên cạnh kia ta hoàn toàn có thể rước được dãy x n , thế nào cho x n  x 0 và lyên x n  x 0 . nTa bảo rằng số L là số lượng giới hạn của hàm số y  fx khi x tiến dần về x 0 , nếu như đối với dãy x n  bấtkỳ nlỗi trên, dãy khớp ứng các giá trị của hàm fx n  luôn luôn hội tụ và bao gồm số lượng giới hạn là L.lúc đ ó ta cam kết hiệu llặng fx  L tuyệt fx  L Lúc x  x 0 . xx 0 1lấy ví dụ như. Xét hàm y  x sin x trong vòng 1, 10. Ta tất cả nếu như x n , x n  0 là hàng hội tụđến 0, thì 0  |fx n | |x n ||sin x1n |  |x n |. 1Vì lyên x n  0, nên lyên fx n   0. Vậy lyên fx lyên ổn x sin x  0. n n x0 x0 1Ví dụ. Xét hàm y  sin x trên khoảng 1, 1. Hàm đó không có giới hạn Khi x tiến dần dần về 0. 1Thật vậy đặt x n  n ta được hàng x n  quy tụ mang đến 0, dãy tương ứngfx n   sin n  0 quy tụ mang đến 0.Nếu đặt x /n  4n1 ta được hàng x /n  hội tụ mang lại 0, dãy tương xứng 2fx /n   sin   2n  1 quy tụ đến 1. 2Vậy hàm y  sin 1 không tồn tại giới hạn lúc x dần về 0. xĐịnh nghĩa 2. Ta Gọi số L là giới hạn của hàm số y  fx lúc x tiến về x 0 , nếu   0,   0 : 0  |x  x 0 |    |fx  L|  .Nói tầm thường số  phụ thuộc vào vào . Nói một biện pháp khác, lyên ổn fx  L ví như các quý hiếm của hàm fx xx 0 10sát L một giải pháp tùy ý Lúc các giá trị của trở nên x đầy đủ ngay gần x 0 dẫu vậy khác với x 0 .Ta công nhận định và đánh giá lý sau.Định lý. Hai tư tưởng số lượng giới hạn sống bên trên là tương tự.lấy ví dụ. Chứng minh lim 2x  1  5. Thật vậy, ta gồm với tất cả   0, x2|2x  1  5|  2|x  2|   Lúc |x  2|  /2, nghĩa là nếu mang   /2 thì |2x  1  5|  lúc |x  2|  . Đpcentimet. 2 4lấy ví dụ. Xét giới hạn của hàm xx2 khi x  2. Hàm nầy không khẳng định Lúc x  2, dẫu vậy khix  2 ta có x 2 4 x2x2 x2  x2  x  2. 2 4 2 4Do kia Khi x  2 ta tất cả xx2  4  x  2  4  x  2, buộc phải xx2  4  , lúc x  2 cùng x 2 4|x  2|    .

Xem thêm: Tải Hình Từ Iphone Vào Máy Tính Pc & Mac, Copy Ảnh Từ Iphone Sang Máy Tính Đơn Giản



Xem thêm: Top 4 Ứng Dụng Auto Click Cho Android Không Cần Root Máy, Pcho Mình Xin App Autoclick Không Cần Root Đi Qtv

Vậy lim x2  4. xx 0Định nghĩa. Ta điện thoại tư vấn số L là số lượng giới hạn của hàm số y  fx khi x tiến ra vô rất, ví như   0, N  0 : |x|  N  |fx  L|  .Nói phổ biến số N dựa vào vào . Ta ký hiệu llặng fx  L. x n  1lấy ví dụ. Chứng minch lim x . Thật vậy, xx 0| 1  0|  |x|   lúc |x|  1 , buộc phải   0, N  1 : |x|  N  | 1  0|  . x 1   x3.2. Các đặc thù của hàm số tất cả giới hạnRõ ràng ta gồm một trong những đặc thù đ ơn giản sau đây:i) Nếu fx  C là hằng số thì lyên ổn fx  C, lyên fx  C. xx 0 xii) Một hàm fx nếu tất cả số lượng giới hạn ( Lúc x  x 0 giỏi x   thì chỉ tất cả nhất một giới hạn.iii) Một hàm fx trường hợp bao gồm số lượng giới hạn dương (âm) Lúc x  x 0 thì luôn luôn luôn luôn dương (âm) tại những x x 0 , với đầy đủ ngay sát x 0 .iv) Nếu hàm fx  0 sống ở kề bên x 0 cùng có số lượng giới hạn lúc x  x 0 thì số lượng giới hạn ấy buộc phải  0. Nếu hàmfx  0 sống lân cận x 0 với tất cả giới hạn lúc x  x 0 thì giới hạn ấy vẫn  0.3.3. Các phép tân oán số lượng giới hạn của hàm sốDựa vào định nghĩa giới hạn của hàm ta dễ dãi minh chứng được:Định lý. Giả sử lyên ổn fx  L, llặng gx  M. khi đó xx 0 xx 0i) Tổng fx  gx cũng có thể có giới hạn, cùng llặng fx  gx  L  M. xx 0ii) Tích fxgx cũng đều có số lượng giới hạn, cùng llặng fxgx  LM. xx 0 fx fx Liii) Nếu M  0 thì thương thơm gx cũng đều có số lượng giới hạn, với lyên ổn gx  M . xx 0Chú thích: Định lý trên cũng đúng cùng với quy trình x   thay do quá trình x  x 0 .Định lý. Xét hàm vừa lòng f  u : x  fux.Giả sử lyên fx  L, lyên ổn gx  M. Nếu xx 0 xx 0a) lyên ux  u 0 , xx 0 11b) fu khẳng định vào một khoảng chừng chứa u 0 và llặng fu  fu 0 . uu 0khi đó, ta tất cả llặng fux  fu 0   fllặng ux. xx 0 xx 0Chứng minh: Theo b)   0,   0 : 0  |u  u 0 |    |fu  fu 0 |  .Với  ấy, theo a), ta lại có   0 : 0  |x  x 0 |    |ux  u 0 |  .Do kia   0,   0 : 0  |x  x 0 |    |fu  fu 0 |  .Vậy lim fux  fu 0 . xx 0Ta thừa nhận công dụng sau:Định lý. Nếu hàm sơ cấp fx xác minh vào một khoảng tầm cất x 0 thì llặng fx  fx 0 . xx 03.4. Các giới hạn cơ bảnTa bao gồm các số lượng giới hạn cơ phiên bản sau:i) llặng sin x  1, x x0 1ii) llặng 1  n  n  e, nVới e là một trong những vô tỉ, e  2, 71828. . . Người ta chứng minh được rằng llặng 1  x 1/x  e. x0Ký hiệu ln là lôgarit cơ số e, tuyệt lôgarit thoải mái và tự nhiên tốt lôgarit Néper. e x 1iii) llặng x  1, x0 ln1xiv) lyên x  1. x0§4. Vô thuộc bé bỏng (VCB) cùng cực kì béo (CVL)4.1. Vô cùng bé4.1.1. Định nghĩa. Hàm x được Hotline là cực kì nhỏ xíu (VCB) Khi x  x 0 giả dụ lim x  0. xx 0Chụ thích: Ta cũng đều có tư tưởng Ngân hàng Ngoại thương mang lại quy trình x   thay bởi vì quy trình x  x 0 .Trnghỉ ngơi lại quan niệm về giới hạn của hàm, ta rất có thể phát biểu đ ịnh nghĩa Ngân hàng Ngoại thương VCB khi x  x 0 nhưsauHàm x được Gọi là Ngân hàng Ngoại thương khi x  x 0 trường hợp   0,   0 : 0  |x  x 0 |    |x|  .Từ định nghĩa giới hạn ta tất cả ngay:Định lý. llặng fx  L  x  fx  L là Vietcombank Lúc x  x 0 xx 0Chú thích: Định lý nầy vẫn đ úng mang lại quy trình x   nắm vày quá trình x  x 0 .Ta cũng thấy tức thì đặc thù tiếp sau đây của VCB: Tính chất 1. Nếu x là Ngân hàng Ngoại thương Khi x  x 0 cùng C là 1 trong hằng số thì cũng chính là Cx cũng làNgân hàng Ngoại thương Vietcombank lúc x  x 0 . Tính hóa học 2. Nếu  1 x, . . . ,  n x là một số hữu hạn các Ngân hàng Ngoại thương lúc x  x 0 thì tổng 1 x . . .  n x với tích của chúng  1 x. . .  n x cũng chính là những VCB khi x  x 0 . 12 Tính chất 3. Nếu x là 1 trong những Ngân hàng Ngoại thương VCB lúc x  x 0 với fx là hàm bị chận vào một lạm cận:0  |x  x 0 |  , thì thì tích xfx cũng chính là những Vietcombank Khi x  x 0 . Thậy vậy, theo trả thiết M  0 : 0  |x  x 0 |    |fx|  M.Mặt khác    0,  1  0 : 0  |x  x 0 |   1  |x|  M .Đặt  /  min,  1 . Lúc kia, trường hợp 0  |x  x 0 |   / , ta bao gồm  |xfx|  |x||fx|  M . M  . Đpcentimet.Chụ thích: Các đặc điểm 1-3 vẫn đ úng đến quy trình x   cố vày quy trình x  x 0 .4.1.2. So sánh những khôn xiết béXét nhì VCB x, x trong cùng một quy trình x  x 0 tốt x   (ta cũng viết tầm thường là x  x 0 với x 0   hoặc x 0  . xi) Nếu lim x  k  , k  0 : thì ta nói x, x là nhị VCB ngang cung cấp. xx 0 xii) Nếu llặng x  1 : thì ta nói x, x là nhị Vietcombank tương đương. Ta cam kết hiệu x~ x. xx 0 xiii) Nếu lim x  0 : thì ta nói x là Ngân hàng Ngoại thương Vietcombank cung cấp cao hơn x, giỏi x là Vietcombank cấp thấp xx 0rộng x. Ta ký kết hiệu x  o x. xiv) Nếu ko trường thọ lyên ổn x thì ta nói x, x là nhì Vietcombank không đối chiếu được cùng nhau. xx 0v) Nếu x là Ngân hàng Ngoại thương VCB ngang cấp cho cùng với  k x, k  0 : thì ta nói x là Ngân hàng Ngoại thương cấp cho k đối với VCB x.Ví dụ:i) 1  cos x cùng x 2 là nhì VCB ngang cấp lúc x  0, và vì thế 1  cos x cũng chính là VCB trung học phổ thông x 2 sin 2 2đối với x 2 , vì chưng llặng 1cos x llặng x2 x2  1. 2 xx 0 xx 0ii) sin x~x, ln1  x~x, e x  1~x, Lúc x  0 2 sin 2 x 1cos xiii) 1  cos x là Ngân hàng Ngoại thương Vietcombank cung cấp cao hơn x Lúc x  0, vị lyên ổn x llặng x 2  0. xx 0 xx 04.1.3. Khử dạng vô định x  x Tính hóa học 1. Nếu x~  x và x~x lúc x  x 0 thì lyên lyên ổn x xx 0  x . xx 0Thật vậy x x  x  x x  x  x  x  x lyên x lim  x x lyên . lim  x xx 0 . lim x  1. lyên ổn . 1 llặng . xx 0 xx 0  x xx 0  x xx 0 xx 0  x xx 0  x ln12x 2x 2Ví dụ: lyên ổn lyên ổn  3 . e 3x 1 3x x0 x0 Tính chất 2. Nếu x  ox lúc x  x 0 thì x  x~x khi x  x 0 .Thật vậy 13 xx x lyên x lim  x  1  1. xx 0 xx 0bởi thế tổng của hai VCB tương đ ương cùng với VCB gồm thấp cấp rộng. Tính chất 3. Qui tắc ngắt quăng quật Ngân hàng Ngoại thương Vietcombank cấp cao.Giả sử x cùng x là nhị Ngân hàng Ngoại thương khi x  x 0 , trong số đó x cùng x phần đông là tổng của một số trong những hữu xhạn những Ngân hàng Ngoại thương VCB khi x  x 0 . Khi đó, lyên x  lim của tỷ số hai Vietcombank cấp thấp độc nhất vô nhị ở tử số với xx 0 xx 0chủng loại số. xsin 2 x tg 3 x x 1Ví dụ: lim lyên  2 . 2xx 3 4x 5 2x x0 x04.2. Vô cùng lớn4.2.1. Định nghĩa. Cho hàm fx xác đ ịnh sinh sống sát bên của x 0 , không duy nhất thiết khẳng định tạix 0 . Ta nói hàm fx là hết sức mập (VCL) Khi x  x 0 ví như lyên |fx|  . xx 0Tương từ, ta cũng có thể có khái niệm VCL cho những quy trình x  , x   nạm vị thừa trìnhx  x0.4.2.2. Liên hệ giữa Ngân hàng Ngoại thương cùng VCL.Định lý. Giả sử fx  0 trong một ở bên cạnh của x 0 . lúc kia 1 fx là (VCB)  fx là (VCL), lúc x  x 0 , 1 fx là (VCL)  fx là (VCB), Khi x  x 0 . 1Ví dụ: sin x là (VCL), lúc x  0, một là (VCB), lúc x  . x4.2.3. So sánh những cực kỳ lớnGiả sử Ax, Bx là hai VCL lúc x  x 0 (ta cũng viết bình thường là x  x 0 cùng với x 0   hoặcx 0  . Axi) Nếu lim Bx  k  , k  0 : thì ta nói Ax, Bx là hai VCL ngang cung cấp. xx 0 Axii) Nếu llặng Bx  1 : thì ta nói Ax, Bx là nhì VCL tương đương. Ta cam kết hiệu Ax~ Bx. xx 0 Axiii) Nếu lyên ổn Bx  0 : thì ta nói Ax là VCL thấp cấp rộng Bx, hay Bx là VCL cao cấp xx 0rộng Ax. Axiv) Nếu Bx là nhị VCL Khi x  x 0 thì ta nói Ax là VCL cấp cho cao hơn nữa Bx, xuất xắc Bx làVCL cấp thấp hơn Ax. Ax Axv) Nếu không mãi sau llặng Bx với Bx cũng không là VCL khi x  x 0 thì ta nói Ax, Bx xx 0là nhì VCL không so sánh được với nhau.Từ ii) ta có những tính chất sau:j) Giả sử Ax, Ax, Bx cùng Bx là các VCL Khi x  x 0 . Nếu Ax~Ax cùng Bx~Bx thì Ax Ax llặng Bx lyên ổn . xx 0 xx 0 Bxjj) Nếu Ax là VCL cấp cho cao hơn VCL Bx Khi x  x 0 , thì Ax  Bx~Ax lúc x  x 0 . 14Thật vậy AxBx Bx llặng Ax lyên ổn 1  Ax   1. xx 0 xx 0Ví dụ: khi x  , thì x 3  một là VCL cung cấp cao hơn VCL x 2 , vị x 3 1 1 lyên ổn x2 lim x lyên x2  . x x xVí dụ: lúc x  , thì 3x 4  x~3x 4 .4.2.4. Khử dạng vô định  ,   , 0  . * Qui tắc ngắt vứt VCL thấp cấp.Giả sử Ax với Bx là hai VCL Khi x  x 0 , trong số ấy Ax cùng Bx đầy đủ là tổng của một số trong những hữu Axhạn các VCL lúc x  x 0 . Khi kia, lim Bx  llặng của tỷ số nhị VCL cấp cho cao nhất sống tử số với xx 0 xx 0mẫu mã số.  3x 2 2x2 3x 2 3Ví dụ: (Dạng  . lyên  lyên ổn  4 . x 4x 2 4x5 x 4x 2Ví dụ: (Dạng   .Xét lim  x 4  3x 2  x 4  1 . khi x  , thì x 4  3x 2   cùng x 4  1  , nên ta xgặp dạng vô định   . Muốn khử nó ta nhân và chia nó với biểu thức phối hợp x 4  3x 2  x 4  1 .  x 4 3x 2  x 4 1  x 4 3x 2  x 4 1  lim  x 4  3x 2  x 4  1  lyên x x x 4 3x 2  x 4 1 3x 2 1  lyên ổn x x 4 3x 2  x 4 1 3 1 x2  lim 3 1 ( chia tử cùng chủng loại cho x 2 ) x 1  1 x2 x2 3  2 .Ví dụ: (Dạng 0  . Xét lim x x 2  1  x. xTa tất cả  x 2 1 x x 2 1 x 1 lyên  x 2  1  x  llặng  llặng  0. x x x 2 1 x x x 2 1 xVậy số lượng giới hạn đã mang đến tất cả dạng vô định   0. Muốn khử nó, ta biến đổi nhỏng bên trên thì được x llặng x x 2  1  x  lyên x x x 2 1 x 1  lyên 1 ( chia tử với mẫu đến x) x 1 1 x2 1  2 .§5. Hàm số liên tục 155.1. Các khái niệm về hàm số liên tiếp tại một điểm * Cho D  , điểm x 0  D được Điện thoại tư vấn là vấn đề tụ của D nếu sống thọ một hàng x n   Dx 0 làm sao để cho x n  x 0 . Điểm x 0  D không hẳn là điểm tụ của D được Hotline là điểm xa lánh của D. * Cho D  , f : D   cùng x 0  D. Nếu x 0 được call là điểm xa lánh của D. Ta nói f liên tục trên x 0 . Nếu x 0 được Call là điểm tụ của D. Ta nói f liên tục trên x 0 .  D nếu lim fx  fx 0 . xx 0Trong trường hợp, x 0  D là điểm tụ của D. Ta cũng đều có f liên tiếp trên x 0    0,   0 : x  D, |x  x 0 |    |fx  fx 0 |  .Vẫn là x 0  D là vấn đề tụ của D. Ta cũng đều có các quan niệm khác tương quan mang lại tiếp tục mộtphía nhỏng sau: *Ta nói f liên tục mặt yêu cầu tại x 0 .  D trường hợp lim fx  fx 0 , Tức là, xx 0    0,   0 : x  D, x 0  x  x 0    |fx  fx 0 |  . *Ta nói f liên tục phía trái trên x 0 .  D trường hợp lyên fx  fx 0 , Tức là, xx 0    0,   0 : x  D, x 0    x  x 0  |fx  fx 0 |  .Hiển nhiên, điều kiện đề nghị cùng đ ủ để hàm f tiếp tục trên x 0 là f liên tục bên đề nghị và bên trái tạix0.5.2. Định nghĩa trong tầm, trên đoạn * Hàm f : a, b   được Call là liên tục trong tầm a, b nếu f liên tục trên hầu như điểmx 0 .  a, b. * Hàm f : a, b   được Gọi là liên tục bên trên đoạn a, b giả dụ f liên tục trong vòng a, bvà thường xuyên mặt phải tại a, liên tục phía trái trên b.5.3. Các phxay toán bên trên các hàm số liên tiếp tại một điểmÁp dụng các phxay tân oán đơn giản và dễ dàng về các hàm số bao gồm số lượng giới hạn ta có một vài tác dụng sau đây:Định lý. Nếu hàm f là thường xuyên tại điểm x 0 thì hàm |f| cũng thường xuyên trên x 0 .Định lý. Nếu những hàm f và g thường xuyên tại điểm x 0 thì những hàm f  g, fg, Cf C là hằng số) |f|cũng thường xuyên tại x 0 . fTrong khi, nếu như các hàm gx 0   0 thì hàm g thường xuyên trên x 0 .Định lý. Giả sử I, J   với f : I  J, g : J  . Nếu hàm f thường xuyên tại điểm x 0 với g liên tụctại điểm y 0  fx 0   J, thì hàm vừa lòng g  f : I   cũng thường xuyên tại x 0 .5.4. Điểm đứt quãng. Phân loạiĐịnh nghĩa. Hàm f được điện thoại tư vấn là đứt quãng tại x 0 trường hợp f không tiếp tục trên điểm x 0 . Lúc kia x 0điểm gián đoạn của f. Nếu f ngăn cách trên x 0 thì thứ thị của hàm y  fx ko ngay tức khắc tại điểmM 0 x 0 , fx 0 , nhưng mà bị ngắt quảng trên M 0 .Căn uống cđọng vào khái niệm ta thấy rằng hàm f cách trở trên x 0 giả dụ gặp gỡ một trong những trường hợpsau:i) Nếu các số lượng giới hạn bên phải fx 0  0  llặng fx, số lượng giới hạn phía bên trái fx 0  0  llặng fx tồn tại xx 0  xx 0 với bố số thực fx 0 , fx 0  0, fx 0  0 ko đôi khi đều bằng nhau, thì ta nói x 0 là vấn đề loại gián 16đoạn nhiều loại một. j) Nếu fx 0  0  fx 0  0  fx 0 , thì ta nói x 0 là điểm cách biệt vứt được. jj) Nếu fx 0  0  fx 0  0, thì ta nói x 0 là điểm khiêu vũ. Hiệu số fx 0  0  fx 0  0 đượcđiện thoại tư vấn là bước khiêu vũ.ii) Điểm cách quãng ko trực thuộc các loại một được gọi là vấn đề cách quãng một số loại nhì.Ví dụ: Xét hàm x  1, trường hợp x  0, fx  x  1, giả dụ x  0.Ta có: f0  lim fx  1, f0  lyên ổn fx  1. x0 x0Vậy x  0 là một trong điểm dancing, cùng với bước nhảy đầm là f0  f0  2.Ví dụ: Xét hàm sin x x , nếu như x  0, fx  2, trường hợp x  0.Vì llặng fx  llặng fx  1  f0  2, phải cách quãng một số loại một tại x  0. hơn nữa, x  0 là x0 x0một điểm cách biệt quăng quật được.Nếu xét hàm  sin x x , nếu x  0, f x  1, ví như x  0. thì f sẽ liên tục trên x  0, điều nầy giải thích từ ”bỏ được”.Ví dụ: Hàm fx  1 bao gồm điểm đứt quãng loại hai tại x  0, vì llặng x 1 x  , lyên ổn 1 x  . x0 x05.5. Tính liên tiếp của những hàm sơ cấpTa vẫn chỉ ra rằng những hàm sơ cấp cho gần như thường xuyên bên trên tập xác đ ịnh của chúng.1/ Đa thức Phường. n x  a 0 x n  a 1 x n1 . . . a n1 x  a n .Vì hàm số y  C  hằng cùng hàm số y  x thường xuyên trên  nên hàm số x  ax k axx. . . x k vượt sốtrong những số đó a là một số trong những tực không đ ổi với k là một số trong những tự nhiên và thoải mái, liên tiếp bên trên . Do đó hàm Phường n x làtổng hữu hạn những hàm thuộc dạng trên cũng tiếp tục trên . PHàm hữu tỉ Q , trong các số đó Phường. với Q là những nhiều thức, tiếp tục tại các điểm x   trên kia Qx  0.2/ Hàm nón y  a x a  0 liên tục bên trên .Giả sử x 0  . Với phần đa x  , ta gồm a x  a x 0 a xx 0 .Khi x  x 0 ta bao gồm x  x 0  0 và a xx 0  1. Do kia lim a x  a x 0 . Vậy hàm y  a x tiếp tục tại xx 0điểm x 0 . Ta có: lim a x   với lim a x  0 cùng với a  1, x x lyên ổn a x  0 và llặng a x   với 0  a  1. x x 17Tập các cực hiếm của hàm số y  a x là khoảng tầm 0, .3/ Hàm số Lôgarit y  log a x a  0, a  1 liên tục bên trên 0, . (Xem mục 5.5) xGiả sử x 0  0. Với gần như x  , ta tất cả log a x  log a x 0  log a x0 . x xkhi x  x 0 ta tất cả x0  1 và log a x0  0. Do đó llặng log a x  log a x 0 . Vậy hàm y  log a x liên xx 0tục tại điểm x 0 . Ta có: llặng log a x   với llặng log a x   nếu a  1, x0 x lyên log a x   với lyên log a x   giả dụ 0  a  1. x0 x4/ Hàm số lũy thừa y  x     liên tục bên trên 0, . Vì x   e  ln x nên theo định lý vềtính liên tiếp của hàm số phù hợp, hàm số lũy thừa tiếp tục bên trên 0, .5/ Các hàm con số giác liên tục trên tập xác minh của bọn chúng.Thật vậy, Giả sử x 0  . Với đầy đủ x  , ta gồm xx xx xx |sin x  sin x 0 |  2 cos 2 0 sin 2 0  2 sin 2 0  |x  x 0 |.Từ đó suy ra lyên sin x  sin x 0 . xx 0Vậy hàm số y  sin x liên tiếp trên điểm x 0 , có nghĩa là liên tiếp trên .Vì cos x  sin   x với mọi x  , yêu cầu theo định lý về tính liên tục của hàm số hòa hợp, suy 2ra hàm số y  cos x liên tục bên trên .Cũng theo đặc điểm hàm liên tục ta tất cả hàm số y  tgx  cosx liên tục tại những điểm x   nhưng sin xcos x  0, Có nghĩa là x    k, k   tập những số ngulặng. 2Hàm số y  cot gx  cosx liên tục tại đầy đủ điểm x   mà sin x  0, tức là x  k, k  . sin x6/ Người ta chứng minh được rằng các hàm lượng giác ngược liên tiếp bên trên tập khẳng định củabọn chúng. (coi mục 5.5). Cụ thể là Hàm số y  arcsin x thường xuyên cùng tăng trên tự 1, 1 lên   ,  . 2 2 Hàm số y  arccos x tiếp tục cùng sút bên trên trường đoản cú 1, 1 lên 0, . Hàm số y  arctgx liên tiếp và tăng bên trên trường đoản cú  lên   ,  . 2 2 Hàm số y  arccot gx liên tiếp và giảm trên tự  lên 0, .5.6. Tính hóa học của hàm liên tiếp trên một đoạn  Ý nghĩa hình học của tư tưởng thường xuyên Hình 15 Hình 16 Giả sử hàm y  fx liên tiếp trên x 0 . Xét điểm P. 0 x 0 , y 0 , y 0  fx 0  bên trên thứ thị. Khi 18 x  x  x 0  0 thì f  fx  fx 0   0, nên lúc x  x 0 , thì bên trên đồ thị, điểm Px, y chạytới điểm P 0 không biến thành xa vắng. Từ kia suy ra rằng nếu hàm y  fx liên tục trên đoạn a, b thì đồ dùng thị của nó là 1 đườngngay tắp lự nối điểm Aa, fa cùng với điểm Bb, fb.Dựa vào ý nghĩa hình học của hàm y  fx liên tục bên trên đoạn a, b ta đúc rút một số tính chấtcủa chính nó mà không hội chứng minh: Đường cong ngay tắp lự đi trường đoản cú điểm A đến điểm B chẳng thể chạy ra rất nhiều, đề xuất ta có:Định lý. Nếu hàm fx thường xuyên bên trên đoạn a, b thì nó bị chận trên đoạn đó, tức là M  0 : |fx|  M x  a, b. Đường cong ngay tức khắc đi tự điểm A tới điểm B khi nào cũng có tối thiểu một điểm tối đa và mộtđiểm phải chăng nhất, phải ta có:Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a, b thì ít nhất một đợt nó đạt quý hiếm lớn nhất và mộtlần nó đạt quý hiếm nhỏ dại độc nhất trên đoạn a, b, Tức là c 1 , c 2  a, b : fc 1   fx  fc 2  x  a, b. (xem hình 17) Hình 17 Hình 18 Hình 19 Nếu nhì điểm A và B làm việc nhị phía của trục ox thì mặt đường cong liền đi tự điểm A đến điểm Bđề xuất cắt trục ox ít nhất một lần, yêu cầu ta có:Định lý. Nếu hàm fx thường xuyên trên đoạn a, b và ví như những cực hiếm fa cùng fb trái dấu nhau thìfx triệt tiêu tại tối thiểu một lần trong vòng a, b, Có nghĩa là, lâu dài ít nhất một cực hiếm c  a, bsao để cho fc  0. (coi hình 19) Nếu vẽ một đường trực tiếp tuy vậy tuy nhiên với trục Ox trong vòng thân điểm rẻ tuyệt nhất cùng điểmtối đa của con đường cong gắn sát A đến B khi nào con đường trực tiếp ấy cũng cắt đường cong ấy íttốt nhất một lần, nên ta có:Định lý. Nếu hàm fx tiếp tục trên đoạn a, b cùng  là 1 cực hiếm trung gian giữa giá trị nhỏduy nhất với quý hiếm lớn số 1 của f thì  là giá trị của f tại tối thiểu một điểm bên trên đoạn a, b, Tức là,nếu max fx    min fx thì sống thọ tối thiểu một quý giá c  a, b thế nào cho   fc. (coi axb axbhình 18)Cuối cùng ta có:Định lý. Giả sử f : a, b   là 1 trong hàm số thường xuyên và tăng(giảm) trên đoạn a, b. Lúc kia flà một trong những tuy nhiên ánh tự a, b lên fa, fb ( fb, fa ) và hàm số ngượcf 1 : fa, fb  a, b f 1 : fb, fa  a, b của hàm f là liên tục với tăng(giảm).

Chuyên mục: Kinh Doanh